源氏香の組合せ（数学）
問題：江戸時代、何人かで集まり香を聞いて（嗅いで）当てるあそびが流行した。その代表である「源氏香」は次のようなものである。
５種類ある香から重複を許して５回分を選び（５種×５包の２５包みをあらかじめ用意しておき、それらの香から５包みを選び、）ひと包みづつ順に５回たき、終了後に、５回のうち同じ香はどれとどれであったか当てるゲームである。解答者は、嗅覚の記憶をたどって、解答用紙に五本の縦線を書き、同じ香だったものの上部をつなぐ。例は下の図のようになる。同じ香が何回目と何回目であったかを問うだけで香の種類などは問わない。
さて、解答の組合せは何通りとなるか答えよ。
例
（右から順にかぞえる。２回目と３回目が同じ香で、他はそれぞれ別の香の場合。４種類の香を使った。）この順番を源氏物語五十四帖になぞらえた源氏香名は「夕顔」
（１，２，３回目が同じ香で、４、５回目が同じ香。２種類の香を使った）「玉鬘」
（２、４回目が同じ香、３，５回目が同じ香。１回目が単独。３種類の香を使った）「初音」
解答：
香の種類によって場合分けをする。考え方。「同じ香が出てきた場所（回）を問う」のだから、「同じ香を結ぶ線のつなぎ方」つまり図形の種類だけを考えればよいことになる。
１、香が一種類の場合 ５回とも同じだから、（TTTTT)の形で１通り・・・（香の種類は問わないので、５種類のどの香でもいい）
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２、香が五種類の場合 ５回とも別だから、「 I I I I I（１＋１＋１＋１＋１）」の形で１通り・・・ （香の種類は考えないので、５種類が別々とわかればいい）
３、香が二種類の場合
A １＋４ １回だけ異なり、他の４回は同じ香だった場合。 ５回のうちの１回を選ぶから、５通り・・・（４本つながった TTTT 図中に単独の I が入る場所は５通り）
B ２＋３ ２回同じで、残りの３回が同じ場合。（上の「玉鬘」の例がそれに当たる）
５回の中から２回（または３回）を選ぶ場合の数である。 5C2＝5C3＝１０通り・・・
（五本の中から二本（または三本）のIを選ぶ組合せ）
書き上げてみると分かりやすい。（下図参照）この書き上げは、４のBにも５にも応用できる。
４、香が三種類の場合
A １＋２＋２の場合、つまり二種類が２回ずつと、単独が一回（上の「初音」がその例）
単独のIを置く場所が５通り、残りの４箇所から二つを選ぶの方法は 4C2＝６通りだが２：２で同じものが重複するので、２で割り３通りとなる。 ５×３＝１５通り・・・
（または 同じものを含む場合の順列、５つのうちから２つえらび、残りの３から２を選び、種類を区別しないので２で割る 5C2×3C2／２＝１５通り ）
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┃┃┃┃ ┃┃┃┃ ┃┃┃┃ ４本を２と２に分ける組合せは左の３種類。その図に I がどこかに入り５本線となる。
B １＋１＋３の場合、つまり一種類を３回たき、残りの２回がそれぞれ別。
５回の中から３回を選ぶ組合せ。３のBと同じ考え方で 5C2＝5C3＝１０通り・・・
５、香が四種類の場合 １＋１＋１＋２ つまり一種類の香のみ２回たく場合（上の「夕顔」の例）
５つの中から２つを選ぶ組合せ。３のBと同じ考え方で 5C2＝5C3＝１０通り・・・
これらは同時には起こらないから、場合の数は１＋１＋５＋10＋15＋10＋10＝５２ 答え ５２通り
3Ｂの場合の書き出しは次の通り。二本組の線がつないでなく離れていれば4Ｂの場合で、三本組の線の方が離れていれば５の場合となる。
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別解： あるかなあ 参考-ベル数
